¿CÓMO SE DERIVA LA FÓRMULA Q̇ = α × t2?

LA MATEMÁTICA DETRÁS DEL FUEGO

Para entender por qué la potencia del fuego crece con el cuadrado del tiempo, es necesario partir de un supuesto geométrico: que el incendio se propaga en forma circular desde un punto de ignición, con una velocidad constante hacia todas las direcciones. Si asumimos que el fuego se extiende sobre una superficie plana y que dicha propagación es simétrica, podemos describir el área afectada como un círculo cuyo radio aumenta con el tiempo.

Llamemos Vs a la velocidad de propagación del frente de llama (en metros por segundo). Como el radio de la zona quemada crece con el tiempo, el radio en un instante t será igual a:

r = Vs × t

A partir de eso, la superficie quemada en ese instante será igual al área de un círculo, es decir:

A = π × r2 = π × (Vs × t)2 = π × Vs2 × t2

Hasta aquí solo hemos modelado la geometría del fuego. A continuación, introducimos el componente térmico. Sabemos que la potencia del fuego, es decir, la tasa con la que se libera calor, depende de tres factores fundamentales: cuánta masa de combustible se quema por segundo y por metro cuadrado (lo que llamaremos m''F, en kg/m2s), cuánta energía se libera por cada kilo de ese combustible (lo que llamamos ΔHc, en kJ/kg), y cuánta área está involucrada en la combustión en ese momento. Entonces, la potencia total del fuego, Q̇, se obtiene como el producto entre el calor de combustión, la tasa de consumo por unidad de área y el área en llamas:

Q̇ = ΔHc × m''F × A

Sustituyendo la expresión del área que ya hemos deducido, obtenemos:

Q̇ = ΔHc × m''F × (π × Vs2 × t2)

Al agrupar los términos constantes, es posible simplificar esta expresión y dejarla en la forma más generalizada:

Q̇ = α × t2

Donde el coeficiente α (alfa) resume las propiedades del combustible, la velocidad de propagación del fuego y la geometría del crecimiento. En otras palabras, la potencia del fuego no crece linealmente, sino que lo hace como el cuadrado del tiempo, debido a que el área quemada también crece cuadráticamente cuando el frente de llama se expande de forma radial.

Esta relación matemática no es un mero artificio teórico: es la base sobre la cual se construyen los escenarios tipo para diseño y prueba de sistemas contra incendios, como rociadores automáticos o detectores de humo, utilizando curvas de crecimiento normalizadas para fuegos lentos, medios, rápidos y ultra rápidos.